辐射防护与保健物理作业

1. 第一次作业

1.1. 简要分析 X 射线试鞋机的利益与风险

X 射线试鞋机的利益主要是直接显示脚骨和鞋腔的相对位置, 帮助判断鞋是否合脚, 并带来新奇的商业体验. 风险在于该照射没有医学诊断或治疗目的, 所得信息又可由试穿, 测量等无照射方法替代, 因而收益很小而辐射暴露真实存在. 按正当化原则, 只有收益明显大于风险的照射才合理; X 射线试鞋机属于不必要照射, 被淘汰是合理的.

1.2. $𝛾$ 射线检查焊缝是否正当? 为什么?

正当. 工业 $𝛾$ 射线探伤能发现焊缝内部孔隙, 裂纹和未焊透等缺陷, 对压力容器和核设施等设备的结构安全有直接价值. 其社会收益是预防重大事故, 降低人员和经济损失, 且该内部信息常难以由外观检查替代, 因而满足正当化要求.

1.3. 发展核能的风险和利益

核能的利益是能量密度高, 发电稳定, 运行碳排放低, 有利于能源安全和减排, 并带动核医学, 材料和工业应用. 风险是核事故后果严重, 放射性废物需长期管理, 核设施成本高且依赖强监管和安全文化. 因而核能不是单纯的高风险或高收益技术, 而是需要用高水平工程和制度控制风险的高价值技术.

1.4. 文献阅读笔记

文章给我的主要印象是: 辐射防护标准是随证据, 技术和社会风险认知演进的. 早期标准关注 X 射线皮肤红斑等确定性损伤; 镭工业和内照射问题出现后, 防护转向体内沉积和职业照射; 核武器试验落下灰使遗传效应成为重点; 1970 年代以后, 原爆幸存者资料推动标准转向致癌风险, 有效剂量, 内外照射合并评价和 ALARA. 因此辐射防护既是科学判断, 也是社会选择: ICRP 和 NCRP 同时被批评过于保守或不够保守, 正说明防护标准是在不确定性中寻找可执行的平衡.

2. 第二次作业

2.1. ${}^{24}{Na}$ 和 ${}^{32}P$ 混合物何时活度相同

设 1 为 ${}^{24}{Na}$ , 2 为 ${}^{32}P$ . 活度满足 $𝐴_{𝑖 (𝑡)} = 𝐴_{𝑖, 0} 𝑒^{- 𝜆_{𝑖} 𝑡}$ , 初始活度比 $\frac{𝐴_{1, 0}}{𝐴_{2, 0}} = \frac{98}{2} = 49$ . 令 $𝐴_{1} (𝑡) = 𝐴_{2} (𝑡)$ 得

𝑡 = \frac{ln 49}{𝜆_{1} - 𝜆_{2}} .

取 $𝑇_{\frac{1}{2}, 1} = 14.96 h$ , $𝑇_{\frac{1}{2}, 2} = 14.3 d = 343.2 h$ , 且 $𝜆_{𝑖} = \frac{ln 2}{𝑇_{\frac{1}{2}, 𝑖}}$ , 则 $𝑡 \approx 88.0 h = 3.67 d$ . 因此约 3.7 d 后二者活度相同.

2.2. 推导氡的平衡当量浓度公式

记 $𝐶_{1} = 𝐶 ({}^{218}{Po})$ , $𝐶_{2} = 𝐶 ({}^{214}{Pb})$ , $𝐶_{3} = 𝐶 ({}^{214}{Bi})$ . 对 $𝛼$ 潜能, ${}^{218}{Po}$ 后续还包含 ${}^{214}{Po}$ 的 $𝛼$ 衰变, 故 $𝜀_{1} = 6.00 + 7.69 = 13.69 M eV$ ; 对 ${}^{214}{Pb}$ 和 ${}^{214}{Bi}$ , $𝜀_{2} = 𝜀_{3} = 7.69 M eV$ . 因 $𝐶_{𝑖} = 𝜆_{𝑖} 𝑁_{𝑖}$ , $𝛼$ 潜能浓度为 $𝑆 = \sum_{𝑖} \frac{𝜀_{𝑖} 𝐶_{𝑖}}{𝜆_{𝑖}}$ . 平衡等效氡浓度 $𝐶_{eq}$ 满足

𝐶_{eq} = \frac{\frac{𝜀_{1} 𝐶_{1}}{𝜆_{1}} + \frac{𝜀_{2} 𝐶_{2}}{𝜆_{2}} + \frac{𝜀_{3} 𝐶_{3}}{𝜆_{3}}}{\frac{𝜀_{1}}{𝜆_{1}} + \frac{𝜀_{2}}{𝜆_{2}} + \frac{𝜀_{3}}{𝜆_{3}}} .

用 $𝜆_{𝑖} = \frac{ln 2}{𝑇_{𝑖}}$ , $𝑇_{1} = 3.05 min$ , $𝑇_{2} = 26.8 min$ , $𝑇_{3} = 19.9 min$ 得

𝐶_{eq} = 0.104 𝐶 ({}^{218}{Po}) + 0.514 𝐶 ({}^{214}{Pb}) + 0.382 𝐶 ({}^{214}{Bi}) .

2.3. 100 g 硝酸钾样品中的放射性强度

$K N O_{3}$ 摩尔质量 $𝑀 \approx 39.1 + 14.0 + 3 \times 16.0 = 101.1 g {mol}^{- 1}$ , 故 $𝑛 = \frac{100}{101.1} \approx 0.989 mol$ , 钾原子数 $𝑁_{𝐾} \approx 0.989 𝑁_{𝐴} \approx 5.95 \times 10^{23}$ . 天然丰度 $𝑓 ({}^{40}K) = 0.0118 % = 1.18 \times 10^{- 4}$ , 所以 $𝑁_{40} \approx 7.02 \times 10^{19}$ . 取 $𝑇_{\frac{1}{2}} = 1.248 \cdot 10^{9} a$ , $𝐴 = 𝜆 𝑁_{40} = (\frac{ln 2}{𝑇_{\frac{1}{2}}}) 𝑁_{40}$ , 换算秒后得 $𝐴 \approx 1.24 \cdot 10^{3} Bq = 1.24 k Bq$ .

2.4. 与 1 g ${}^{226}{Ra}$ 平衡的 ${}^{222}{Rn}$ 体积

1 g ${}^{226}{Ra}$ 近似为 $3.7 \cdot 10^{10} Bq$ . 平衡时 $𝐴_{Rn} = 𝐴_{Ra}$ . 取 $𝑇_{\frac{1}{2}} ({}^{222}{Rn}) = 3.82 d$ , 则

𝑁_{Rn} = \frac{𝐴_{Rn} 𝑇_{\frac{1}{2}}}{ln 2} \approx 1.76 \times 10^{16} .

物质的量 $𝑛_{Rn} = \frac{𝑁_{Rn}}{𝑁_{𝐴}} \approx 2.93 \cdot 10^{- 8} mol$ . 在 $0 ° C$ , 760 mmHg 下, $𝑉 = 𝑛_{Rn} \times 22.4 L \approx 6.56 \cdot 10^{- 7} L = 0.656 µ L$ .

2.5. ${}^{99}{Mo}$ - ${}^{99 𝑚}{Tc}$ 发生器再次淋洗的时间

一次淋洗后取 $𝐴_{2} (0) = 0$ . 母体 ${}^{99}{Mo}$ 活度 $𝐴_{1} = 𝐴_{(1, 0)} 𝑒^{- 𝜆_{1} 𝑡}$ , 子体 ${}^{99 𝑚}{Tc}$ 活度由 Bateman 公式给出, 因而

\frac{𝐴_{2}}{𝐴_{1}} = \frac{𝜆_{2}}{𝜆_{2} - 𝜆_{1}} (1 - 𝑒^{- (𝜆_{2} - 𝜆_{1}) 𝑡}) .

令 $\frac{𝐴_{2}}{𝐴_{1}} = 0.98$ , 取 $𝑇_{\frac{1}{2}, 1} = 66.02 h$ , $𝑇_{\frac{1}{2}, 2} = 6.02 h$ , 得

𝑡 = \frac{- 1}{𝜆_{2} - 𝜆_{1}} ln (1 - \frac{0.98 (𝜆_{2} - 𝜆_{1})}{𝜆_{2}}) \approx 21.1 h .

因此一次淋洗后约等 21 h, 子体活度可达当时母体活度的 98%.

3. 第三次作业

3.1. 某纯 $𝛽$ 放射性核素的半衰期, 衰变常数和核素判断

计数率满足 $𝑅 (𝑡) = 𝑅_{0} 𝑒^{- 𝜆 𝑡}$ . 对表中数据作 $ln 𝑅$ 对 $𝑡$ 的线性拟合, 得 $ln 𝑅 = ln 𝑅_{0} - 𝜆 𝑡$ , 斜率给出 $𝜆 \approx 0.0493 d^{- 1}$ . 因此 $𝑇_{\frac{1}{2}} = \frac{ln 2}{𝜆} \approx 14.1 d$ , $𝜆 \approx \frac{0.0493}{24 \times 3600} = 5.70 \cdot 10^{- 7} s^{- 1}$ . 半衰期最接近常见纯 $𝛽$ 核素 ${}^{32}P$ 的 $14.3 d$ , 故该核素判断为 ${}^{32}P$ .

3.2. 5 mg ${}^{210}{Pb}$ 样品 10 年后的活度

$𝑚 = 5 \cdot 10^{- 3} g$ , $𝑀 = 210 g {mol}^{- 1}$ , 初始原子数 $𝑁_{0} = \frac{𝑚 𝑁_{𝐴}}{𝑀} \approx 1.43 \times 10^{19}$ . 取 $𝑇_{\frac{1}{2}} = 22.3 a$ , $𝜆 = \frac{ln 2}{𝑇_{\frac{1}{2}}}$ , 则 $𝐴_{0} = 𝜆 𝑁_{0} \approx 1.41 \cdot 10^{10} Bq$ . 10 年后 $𝐴 = 𝐴_{0} 2^{\frac{- 10}{22.3}} \approx 1.03 \cdot 10^{10} Bq$ , 即约 $10.3 G Bq$ .

3.3. 1 吨 $U_{3} O_{8}$ 含量为 10% 的铀矿中 ${}^{234}U$ 的比活度

1 吨矿石含 $U_{3} O_{8}$ 约 $100 k g$ . $U_{3} O_{8}$ 中铀质量分数 $𝑤_{𝑈} = \frac{3 \times 238}{3 \times 238 + 8 \times 16} \approx 0.848$ , 故总铀 $𝑚_{𝑈} \approx 84.8 k g$ . 天然铀中 ${}^{234}U$ 质量分数取 $5.3 \times 10^{- 5}$ , 得 $𝑚_{234} \approx 4.50 g$ . 取 $𝑇_{\frac{1}{2}} = 2.455 \cdot 10^{5} a$ , 纯 ${}^{234}U$ 比活度 $𝑎_{234}^{*} = \frac{(ln 2) 𝑁_{𝐴}}{𝑀 𝑇_{\frac{1}{2}}} \approx 2.30 \cdot 10^{8} Bq g^{- 1}$ . 总活度 $𝐴_{234} \approx 2.30 \times 10^{8} \times 4.50 = 1.04 \cdot 10^{9} Bq$ . 按矿石质量定义, $𝑎 = \frac{𝐴_{234}}{1000 k g} \approx 1.04 M Bq k g^{- 1}$ .

3.4. 0.5 MeV $𝛾$ 辐射场中的粒子注量率

能量注量率 $\dot{Ψ} = 5 J m^{- 2} s^{- 1}$ , 单个光子能量 $𝐸_{𝛾} = 0.5 M eV = 0.5 \times 1.602 \cdot 10^{- 13} J \approx 8.01 \cdot 10^{- 14} J$ . 粒子注量率 $\dot{Φ} = \frac{\dot{Ψ}}{𝐸_{𝛾}} \approx 6.24 \cdot 10^{13} m^{- 2} s^{- 1}$ .

3.5. ${}^{137}{Cs}$ 点源在 0.5 m 处的粒子注量率和能量注量率

点源活度 $𝐴 = 3.7 \cdot 10^{10} s^{- 1}$ , 取 $𝑌_{𝛾} = 0.851$ , $𝐸_{𝛾} = 661.7 k eV$ , $𝑟 = 0.5 m$ . 各向同性发射给出

\dot{Φ} = \frac{𝐴 𝑌_{𝛾}}{4 𝜋 𝑟^{2}} \approx 1.00 \cdot 10^{10} m^{- 2} s^{- 1} .

又 $𝐸_{𝛾} = 661.7 \times 10^{3} \times 1.602 \cdot 10^{- 19} J \approx 1.06 \cdot 10^{- 13} J$ , 因此:

\dot{Ψ} = 𝐸_{𝛾} \dot{Φ} \approx 1.06 \cdot 10^{- 3} J m^{- 2} s^{- 1}

3.6. 辐射损失率之比与电子在铅中的辐射损失比

同一介质中轫致辐射损失率近似 $𝑆_{rad}$ 正比于 $\frac{𝑧^{2} 𝐸}{𝑚^{2}}$ . 10 MeV 氘核和 10 MeV 电子电荷数相同, 动能相同, 所以 $\frac{{(𝑆_{rad})}_{𝑑}}{{(𝑆_{rad})}_{𝑒}} = {(\frac{𝑚_{𝑒}}{𝑚_{𝑑}})}^{2}$ .

取 $𝑚_{𝑒} 𝑐^{2} = 0.511 M eV$ , $𝑚_{𝑑} 𝑐^{2} = 1875.6 M eV$ , 得比值为 $7.4 \times 10^{- 8}$ . 对 $20 M eV$ 电子在铅中, 查表取 $𝑆_{col} = 1.277 M eV c m^{2} g^{- 1}$ , $𝑆_{rad} = 2.554 M eV c m^{2} g^{- 1}$ , 故 $\frac{𝑆_{rad}}{𝑆_{col}} \approx 2.00$ , 即辐射损失约为电离损失的 2 倍.

4. 第四次作业

4.1. 1 MeV 与 0.1 MeV $𝛾$ 射线束注量之比

空气吸收能量相同意味着 $Φ_{1} 𝐸_{1} {(\frac{𝜇_{en}}{𝜌})}_{1} = Φ_{2} 𝐸_{2} {(\frac{𝜇_{en}}{𝜌})}_{2}$ .

取空气质量能量吸收系数 ${(\frac{𝜇_{en}}{𝜌})}_{0.1 MeV} \approx 2.325 \cdot 10^{- 2} c m^{2} g^{- 1}$ , ${(\frac{𝜇_{en}}{𝜌})}_{1 MeV} \approx 2.789 \cdot 10^{- 2} c m^{2} g^{- 1}$ , 则

\frac{Φ_{1}}{Φ_{2}} = \frac{𝐸_{2} {(\frac{𝜇_{en}}{𝜌})}_{2}}{𝐸_{1} {(\frac{𝜇_{en}}{𝜌})}_{1}} \approx 8.34 \times 10^{- 2}

因而 $Φ_{1 MeV} : Φ_{0.1 MeV} \approx 0.083 : 1$ , 光子束注量约为 $1 M eV$ 的 12 倍.

4.2. 5 Gy 辐射剂量引起的人体温度变化

人体比热取 $𝑐 = 1 cal g^{- 1} {° C}^{- 1} = 4.186 \cdot 10^{3} J k g^{- 1} {° C}^{- 1}$ . 吸收剂量 $𝐷 = 5 Gy = 5 J k g^{- 1}$ , 所以 $Δ 𝑇 = \frac{𝐷}{𝑐} \approx 1.19 \cdot 10^{- 3} ° C$ . 因此 $5 Gy$ 只会造成约 $0.0012 ° C$ 的温升, 热效应很小.

4.3. 0.5 MeV $𝛾$ 射线照射量率对应的组织吸收剂量率

已知 $\dot{𝑋} = 25.4^{- 1} = 100 h^{- 1} = 0.1 h^{- 1}$ . 空气比释动能率 ${\dot{𝐾}}_{air} = 0.00876 \dot{𝑋} \approx 8.76 \cdot 10^{- 4} Gy h^{- 1}$ . 对 $0.5 M eV$ 光子取 ${(\frac{𝜇_{en}}{𝜌})}_{air} \approx 2.966 \cdot 10^{- 2} c m^{2} g^{- 1}$ , ${(\frac{𝜇_{en}}{𝜌})}_{tissue} \approx 3.269 \cdot 10^{- 2} c m^{2} g^{- 1}$ , 则

{\dot{𝐷}}_{tissue} = {\dot{𝐾}}_{air} (\frac{{(\frac{𝜇_{en}}{𝜌})}_{tissue}}{{(\frac{𝜇_{en}}{𝜌})}_{air}}) \approx 9.65 \cdot 10^{- 4} Gy h^{- 1}

即组织吸收剂量率约 $0.965 m Gy h^{- 1}$ .

4.4. ${}^{241}{Am}$ -Be 中子源照射下眼晶体年当量剂量

中子注量率 $\dot{Φ} = 1 \cdot 10^{6} m^{- 2} s^{- 1} = 100 c m^{- 2} s^{- 1}$ , 年工作时间 $𝑡 = 15.0 \times 12 = 180 h = 6.48 \cdot 10^{5} s$ , 年注量 $Φ = \dot{Φ} 𝑡 = 6.48 \cdot 10^{7} c m^{- 2}$ .

5 MeV 中子在软组织中的比释动能因子取 $𝑓_{𝑘} \approx 3.7 \cdot 10^{- 11} Gy c m^{2}$ , 且 $𝐷 \approx 𝐾$ .

因而 $𝐷 = Φ 𝑓_{𝑘} \approx 2.40 \cdot 10^{- 3} Gy$ . 取 $𝑤_{𝑅} = 10$ , 眼晶体当量剂量 $𝐻 = 𝑤_{𝑅} 𝐷 \approx 2.40 \cdot 10^{- 2} Sv = 24.0 m Sv a^{- 1}$ . 该值低于 GB 18871-2002 的 $150$ mSv/a, 但略高于 ICRP 118 的 $20 m Sv a^{- 1}$ 推荐值.

4.5. 电子对效应下的比释动能与吸收剂量

10 MeV 光子发生电子对效应, 产生 $𝑒^{-}$ 和 $𝑒^{+}$ 各 4.5 MeV. 比释动能按不带电粒子释放出的带电粒子初始动能计, $𝐸_{tr} = 4.5 + 4.5 = 9.0 M eV$ . 对 $𝑚 = 100 g = 0.1 k g$ , $𝐾 = \frac{𝐸_{tr}}{𝑚} \approx 1.44 \cdot 10^{- 11} Gy$ . 吸收剂量按留在介质中的能量计: 逃逸轫致辐射和湮灭光子能量 $𝐸_{esc} = 1.6 + 1.4 + 2.0 + 0.51 + 0.51 = 6.02 M eV$ , 所以 $𝐸_{abs} = 10.0 - 6.02 = 3.98 M eV$ , $𝐷 = \frac{𝐸_{abs}}{𝑚} \approx 6.38 \cdot 10^{- 12} Gy$ . 因为部分能量以光子形式逃逸, 故 $𝐷 < 𝐾$ .

5. 第五次作业

5.1. 确定性效应与随机性效应的特点与差异

确定性效应又称组织反应, 特点是有阈值: 低于阈值通常无可观察损伤, 超过阈值后严重程度随剂量增加而加重, 生物学基础多是大量细胞死亡或组织功能受损, 如皮肤红斑, 脱发, 白内障, 不育和急性放射病. 随机性效应通常按无阈处理: 剂量增加主要提高发生概率, 不决定一旦发生后的严重程度, 典型例子是致癌和遗传效应. 防护上, 前者目标是避免超过阈值, 后者目标是在正当化前提下按 ALARA 降低概率风险.

5.2. 对线性无阈假设的观点

LNT 假设认为辐射致癌风险与剂量线性相关且无安全阈值. 我的态度是审慎接受, 有限使用: 在职业防护, 公众防护和法规制定中, LNT 形式简单, 偏保守, 适合作为剂量限值和优化的工作假设; 在医学实践中, 不应把低剂量线性外推得到的微小理论风险当作个体患者的确定伤害. 原因是 $100 m Sv$ 以下人体证据有限, 高剂量外推模型依赖强, 置信区间宽, 且 DNA 修复, 细胞凋亡, 免疫监视和分次效应都说明低剂量生物响应未必是简单线性. 更合适的表述是: 低剂量风险可能存在, 量级很小且不确定性大, 因而应优化照射而不应制造不必要恐慌.

6. 第六次作业

6.1. 4 MeV $𝛼$ 粒子在石墨中的剂量率

注量率 $\dot{Φ} = 1.0 \cdot 10^{3} m^{- 2} s^{- 1} = 0.10 c m^{- 2} s^{- 1}$ . 对带电粒子, $\dot{𝐷} = \dot{Φ} (\frac{𝑆_{col}}{𝜌})$ . 查 ASTAR 取 4 MeV $𝛼$ 在石墨中 $\frac{𝑆_{col}}{𝜌} \approx 6.5 \cdot 10^{2} M eV c m^{2} g^{- 1}$ , 得 $\dot{𝐷} = 0.10 \times 6.5 \times 10^{2} = 65 M eV g^{- 1} s^{- 1}$ . 用 $1 MeV/g = 1.602 \times 10^{- 10} Gy$ , 得 $\dot{𝐷} \approx 1.04 \cdot 10^{- 8} Gy s^{- 1} = 37.5 µ Gy h^{- 1}$ .

6.2. 2 MeV 电子在铅中的射程

题给 2 MeV 电子在铝中的质量射程 $𝑅_{𝑚 (Al)} = 1.22 g c m^{- 2}$ . MeV 量级电子用质量厚度表示的 CSDA 射程在不同材料中同量级, 取 $𝜌_{Pb} = 11.35 g c m^{- 3}$ , 则铅中线射程 $𝑅 (Pb) \approx \frac{𝑅_{𝑚}}{𝜌_{Pb}} = \frac{1.22}{11.35} cm \approx 1.08 m m$ . 因而可记为约 $1 m m$ .

6.3. 含 ${}^{60}{Co}$ 溶液直管的照射量率和空气比释动能率

管长 $𝐿 = 2 m = 200 c m$ , 截面积 $𝑆 = 1 c m^{2}$ , 体积 $𝑉 = 200 c m^{3}$ . 活度浓度 $𝐶_{𝐴} = 2.1 \cdot 10^{9} Bq c m^{- 3}$ , 总活度 $𝐴 = 𝐶_{𝐴} 𝑉 = 4.2 \cdot 10^{11} Bq$ . 取 ${}^{60}{Co}$ . 对长 $𝐿$ 的线源, 距管轴中点垂直距离 $𝑟 = 2 m$ 处

\dot{𝑋} = Γ 𝐴 \frac{2}{𝐿} arctan (\frac{𝐿}{2 𝑟}) .

代入 $𝐿 = 2 m$ , $𝑟 = 2 m$ 得 $\dot{𝑋} \approx 3.47 h^{- 1}$ . 用 $1 R \approx 8.76 mGy$ , 得 ${\dot{𝐾}}_{air} \approx 30.4 m Gy h^{- 1}$ .

6.4. ${}^{90}{Sr}$ 点源容器的有机玻璃和铅屏蔽

${}^{90}{Sr}$ - ${}^{90}Y$ 中 ${}^{90}Y$ 的 $𝐸_{max} \approx 2.28 M eV$ 决定 $𝛽$ 屏蔽. 经验式 $𝑅_{𝑚} = 0.542 𝐸_{max} - 0.133$ 给出 $𝑅_{𝑚} \approx 1.10 g c m^{- 2}$ . 取有机玻璃 $𝜌_{PMMA} = 1.18 g c m^{- 3}$ , 厚度 $𝑑_{PMMA} = \frac{𝑅_{𝑚}}{𝜌_{PMMA}} \approx 0.94 c m$ , 即内层可取约 1 cm.

对外层铅, 点源活度 $𝐴 = 3.7 \cdot 10^{12} Bq$ . 平衡链 $𝛽$ 平均能量取 $𝐸_{𝛽} \approx 0.196 + 0.934 = 1.13 M eV$ , $𝛽$ 功率 $𝑃_{𝛽} = 𝐴 𝐸_{𝛽} \times 1.602 \times 10^{- 13} \approx 0.67 W$ . 低 $𝑍$ 材料轫致辐射份额取 $𝑓 \approx 3.5 \times 10^{- 4} 𝑍 𝐸_{max}$ , 对 PMMA 取 $𝑍_{eff} \approx 6$ , 得 $𝑓 \approx 4.8 \times 10^{- 3}$ , $𝑃_{𝛾} \approx 3.2 \cdot 10^{- 3} W$ . 在 $𝑟 = 2 m$ 处 $\dot{Ψ} \approx \frac{𝑃_{𝛾}}{4 𝜋 𝑟^{2}} \approx 6.4 \cdot 10^{- 5} J^{- 2}$ . 取 ${(\frac{𝜇_{en}}{𝜌})}_{air} \approx 3.0 \cdot 10^{- 3} m^{2} k g^{- 1}$ , 得未屏蔽 ${\dot{𝐷}}_{0} \approx 6.9 \cdot 10^{- 4} Gy h^{- 1}$ . 要求 $\dot{𝐷} \leq 5 µ Gy h^{- 1}$ , 衰减倍数 $𝐵 \approx \frac{0.69 mGy/h}{5 uGy/h} \approx 1.4 \times 10^{2}$ . 对 MeV 光子取 $𝜇_{Pb} \approx 0.79 c m^{- 1}$ , 得 $𝑑_{Pb} = \frac{ln 𝐵}{𝜇_{Pb}} \approx 6.2 c m$ . 因此屏蔽结构为内层约 1 cm 有机玻璃, 外层约 6 cm 铅; 若把铅放内层会显著增加轫致辐射, 不合理.

6.5. Po-Be 中子源的石蜡屏蔽厚度

源活度 $𝐴 = 7.4 \cdot 10^{11} Bq$ . 源强 $𝑆 = 5.0 \cdot 10^{7} s^{- 1}$ . 在 $𝑟 = 1 m$ 处 ${\dot{Φ}}_{0} = \frac{𝑆}{4 𝜋 𝑟^{2}} \approx 3.98 \cdot 10^{6} m^{- 2} s^{- 1}$ . 题给 $ℎ_{Φ} = 3.55 \cdot 10^{- 14} Sv m^{2}$ , 故 ${\dot{𝐻}}_{0} = {\dot{Φ}}_{0} ℎ_{Φ} \approx 509 µ Sv h^{- 1}$ . 要求 $\dot{𝐻} \leq 7.5 µ Sv h^{- 1}$ , 衰减倍数 $𝐵 = \frac{509}{7.5} \approx 67.8$ . 取石蜡去除截面 $Σ_{𝑅} = 0.12 c m^{- 1}$ , 指数衰减给出 $𝑥 = \frac{ln 𝐵}{Σ_{𝑅}} \approx 35 c m$ .

6.6. ${}^{137}{Cs}$ 污染阀门维修所需铅屏蔽

距阀门 $30 c m$ 处 $\dot{𝑋} = 0.13 C k g^{- 1} h^{- 1}$ . 维修距离 $2 m$ 时按反平方关系 ${\dot{𝑋}}_{2} = 0.13 {(\frac{0.30}{2.0})}^{2}$ . 对 662 keV 光子, 4 h 未屏蔽剂量当量 $𝐻_{0} = 11.25 \times 4 \times 10 = 450 m Sv$ . 要求 $𝐻 \leq 1 m Sv$ , 衰减倍数 $𝐵 = 450$ . 对铅取 $𝜇_{Pb} \approx 1.25 c m^{- 1}$ , 即 $HVL = \frac{ln 2}{𝜇_{Pb}} \approx 0.55 c m$ . 窄束指数衰减要求 $𝑒^{- 𝜇 𝑥} \leq \frac{1}{𝐵}$ , 故 $𝑥 \geq \frac{ln 450}{1.25} \approx 4.9 c m$ .

7. 第七次作业

7.1. ${}^{210}{Po}$ 沉积于肝时的 50 年待积当量剂量

初始肝沉积 $𝑞_{0} = 1 Bq$ . 取物理半衰期 $𝑇_{𝑝} = 138.4 d$ , 肝中生物半排期 $𝑇_{𝑏} = 50 d$ , 有效半衰期 $𝑇_{eff} = {(\frac{1}{𝑇_{𝑝}} + \frac{1}{𝑇_{𝑏}})}^{- 1} \approx 36.7 d$ . 50 年远大于 $𝑇_{eff}$ , 故累积活度 $\tilde{𝐴} \approx \frac{𝑞_{0}}{𝜆_{eff}} \approx 4.58 \cdot 10^{6} Bq s$ . 题给 $𝑆_{𝑤} = 0.06 M eV g^{- 1}$ , 所以 $𝐷 = \tilde{𝐴} 𝑆_{𝑤} \times 1.602 \times 10^{- 10} \approx 4.4 \cdot 10^{- 5} Gy$ . ${}^{210}{Po}$ 为 $𝛼$ 发射体, 取 $𝑤_{𝑅} = 20$ , 得 $𝐻_{50} (肝 \leftarrow 肝) = 𝑤_{𝑅} 𝐷 \approx 8.8 \cdot 10^{- 4} Sv = 0.88 m Sv$ .

7.2. 吸入微量 ${}^{131}I$ 的年内照射剂量判断

空气浓度 $𝐶 = 0.45 Bq m^{- 3}$ , 年工作时间 $50 \times 40 = 2000$ h, 吸入率 $0.02 m^{3} {min}^{- 1}$ , 年吸入体积 $𝑉 = 0.02 \times 2000 \times 60 = 2400 m^{3}$ . 年摄入活度 $𝐼 = 𝐶 𝑉 \approx 1.08 \cdot 10^{3} Bq$ . 对职业人员吸入 ${}^{131}I$ 取剂量系数 $𝑒 (50) \approx 1.1 \cdot 10^{- 8} Sv {Bq}^{- 1}$ , 则 $𝐸 (50) = 𝐼 𝑒 (50) \approx 1.2 \cdot 10^{- 5} Sv = 0.012 m Sv$ . 该值远低于职业照射有效剂量限值, 但实际防护仍应关注通风, 碘化学形态和局部高浓度操作.

7.3. 每天吃 1 根香蕉所致待积有效剂量估算

一根香蕉取 $150 g$ , 含钾 $2.56 m g g^{- 1}$ , 即 $𝑚_{𝐾} = 0.384 g$ . 天然钾比活度约 $31.1 Bq g^{- 1}$ , 故每根香蕉 ${}^{40}K$ 活度 $𝐴_{𝐾} = 0.384 \times 31.1 \approx 11.9 Bq$ . 每天 1 根, 年摄入 $𝐼 \approx 11.9 \times 365 = 4.35 \cdot 10^{3} Bq$ . 成人摄入 ${}^{40}K$ 取 $𝑒 (50) \approx 6.2 \cdot 10^{- 9} Sv {Bq}^{- 1}$ , 得 $𝐸 (50) \approx 2.7 \cdot 10^{- 5} Sv = 27 µ Sv$ , 即单根约 $0.074 µ Sv$ . 由于人体维持钾稳态, 该数值主要用于说明天然本底量级.

7.4. 隔室模型的生物动力学方程组

设第 $𝑖$ 个隔室核素量为 $𝑞_{𝑖 (𝑡)}$ , 生物廓清速率为 $𝜆_{𝑖}$ , 物理衰变常数为 $𝜆_{𝑟}$ , 外部摄入速率为 $𝐼$ . 路径比例为 $𝑎_{12} = 1$ , $𝑎_{23} = 0.30$ , $𝑎_{24} = 0.70$ , $𝑎_{32} = 0.50$ , $𝑎_{34} = 0.50$ . 因而

\frac{𝑑 𝑞_{1}}{𝑑 𝑡} = 𝐼 - (𝜆_{1} + 𝜆_{𝑟}) 𝑞_{1},

\frac{𝑑 𝑞_{2}}{𝑑 𝑡} = 𝜆_{1} 𝑞_{1} + 0.50 𝜆_{3} 𝑞_{3} - (𝜆_{2} + 𝜆_{𝑟}) 𝑞_{2},

\frac{𝑑 𝑞_{3}}{𝑑 𝑡} = 0.30 𝜆_{2} 𝑞_{2} - (𝜆_{3} + 𝜆_{𝑟}) 𝑞_{3},

\frac{𝑑 𝑞_{4}}{𝑑 𝑡} = 0.70 𝜆_{2} 𝑞_{2} + 0.50 𝜆_{3} 𝑞_{3} - 𝜆_{𝑟} 𝑞_{4} .

该模型本质上是多隔室一阶转移动力学: 输入来自摄入或上游转移, 输出来自生物廓清和物理衰变; 隔室 4 是生物滞留终端, 只受物理衰变减少.

8. 第八次作业

8.1. 气体正比计数器的布拉格-戈瑞关系式

设气体空腔足够小, 不明显扰动介质中带电粒子的能谱和注量. 这是布拉格-戈瑞空腔理论的基本条件. 记被测介质为 $𝑚$ , 空腔气体为 $𝑔$ . 对同一带电粒子能量注量谱 $Φ_{𝐸}$ , 介质中的吸收剂量可写为 $𝐷_{𝑚} = \int Φ_{𝐸} {(\frac{𝑆_{col}}{𝜌})}_{𝑚} d 𝐸$ , 而空腔气体中的吸收剂量为 $𝐷_{𝑔} = \int Φ_{𝐸} {(\frac{𝑆_{col}}{𝜌})}_{𝑔} d 𝐸$ . 定义介质对气体的平均质量碰撞阻止本领比:

𝑠_{𝑚, 𝑔} = \frac{\int Φ_{𝐸} {(\frac{𝑆_{col}}{𝜌})}_{𝑚} d 𝐸}{\int Φ_{𝐸} {(\frac{𝑆_{col}}{𝜌})}_{𝑔} d 𝐸}

于是得到布拉格-戈瑞关系:

𝐷_{𝑚} = 𝑠_{𝑚, 𝑔} 𝐷_{𝑔}

对气体正比计数器, 设收集到的总电荷为 $𝑄$ , 气体放大倍数为 $𝐺$ , 气体质量为 $𝑚_{𝑔} = 𝜌_{𝑔} 𝑉$ , 气体平均电离能为 $𝑊_{𝑔}$ . 由于正比计数器的收集电荷包含气体放大, 原初电离电荷应为 $\frac{𝑄}{𝐺}$ . 原初电离产生的离子对数为 $𝑁_{𝑖} = \frac{𝑄}{𝐺 𝑒}$ . 气体中对应的能量沉积为 $𝜀_{𝑔} = 𝑁_{𝑖} 𝑊_{𝑔} = \frac{𝑄 𝑊_{𝑔}}{𝐺 𝑒}$ , 所以气体吸收剂量为 $𝐷_{𝑔} = \frac{𝜀_{𝑔}}{𝑚_{𝑔}} = \frac{𝑄 𝑊_{𝑔}}{𝐺 𝑒 𝑚_{𝑔}}$ . 代回布拉格-戈瑞关系, 得到适用于气体正比计数器的形式:

𝐷_{𝑚} = \frac{𝑠_{𝑚, 𝑔} 𝑄 𝑊_{𝑔}}{𝐺 𝑒 𝜌_{𝑔} 𝑉}

若 $𝑄$ 已经指原初电离电荷, 或使用无气体放大的普通电离室, 则取 $𝐺 = 1$ .

8.2. 薄壁空气电离室测塑料体模吸收剂量

题给空气电离室体积 $𝑉 = 0.5 c m^{3}$ , 收集电荷 $𝑄 = 1.65 \cdot 10^{- 9} C$ , 塑料体模对空气的相对碰撞阻止本领为 $𝑠_{plastic,air} = 1.1$ .

薄壁空气电离室可按布拉格-戈瑞关系处理. 取标准状态空气密度 $𝜌_{air} = 1.293 \cdot 10^{- 6} k g c m^{- 3}$ , 则电离室中空气质量为:

𝑚_{air} = 𝜌_{air} 𝑉 = 1.293 \times 10^{- 6} \times 0.5 = 6.47 \cdot 10^{- 7} k g

空气的平均电离能取 $\frac{𝑊_{air}}{𝑒} \approx 33.97 J C^{- 1}$ , 空气吸收剂量为 $𝐷_{air} = (\frac{𝑄}{𝑚_{air}}) (\frac{𝑊_{air}}{𝑒}) = \frac{1.65 \times 10^{- 9}}{6.47 \times 10^{- 7}} \times 33.97 \approx 8.67 \cdot 10^{- 2} Gy$ .

因此电离室所在位置塑料体模中的吸收剂量为 $𝐷_{plastic} = 𝑠_{plastic,air} 𝐷_{air} = 1.1 \times 8.67 \times 10^{- 2} \approx 9.5 \cdot 10^{- 2} Gy$ .

即:

𝐷_{plastic} \approx 0.095 Gy \approx 9.5 rad

9. 第九次作业

9.1. 探测限 $𝐿_{𝐷}$ 的表达式

记净计数为 $𝑁 = 𝑁_{𝑇} - 𝑁_{𝑏}$ , 其中 $𝑁_{𝑇}$ 为样品总计数, $𝑁_{𝑏}$ 为按相同测量时间折算的本底计数. 当样品实际无放射性时, $𝑁_{𝑇}$ 和本底测量的期望都为 $𝑁_{𝑏}$ , 计数涨落服从泊松统计, 因而净计数的标准偏差为:

𝜎_{0} = \sqrt{𝑁_{𝑏} + 𝑁_{𝑏}} = \sqrt{2 𝑁_{𝑏}}

判断限用于控制第一类错误. 取 $𝛼 = 0.05$ , 有 $𝑘_{𝛼} = 1.645$ , 所以:

𝐿_{𝐶} = 𝑘_{𝛼} 𝜎_{0} = 𝑘_{𝛼} \sqrt{2 𝑁_{𝑏}}

探测限还要控制第二类错误. 若真实净计数为 $𝐿_{𝐷}$ , 则总计数期望为 $𝑁_{𝑏} + 𝐿_{𝐷}$ , 扣本底后的标准偏差为:

𝜎_{𝑛} = \sqrt{𝑁_{𝑏} + 𝐿_{𝐷} + 𝑁_{𝑏}} = \sqrt{𝐿_{𝐷} + 2 𝑁_{𝑏}}

在置信水平取 $𝛼 = 𝛽 = 0.05$ 时, 探测限满足:

𝐿_{𝐷} = 𝐿_{𝐶} + 𝑘_{𝛽} 𝜎_{𝑛} = 𝑘_{𝛼} \sqrt{2 𝑁_{𝑏}} + 𝑘_{𝛽} \sqrt{𝐿_{𝐷} + 2 𝑁_{𝑏}}

令 $𝑘_{𝛼} = 𝑘_{𝛽} = 𝑘 = 1.645$ , 解得:

𝐿_{𝐷} = 𝑘^{2} + 2 𝑘 \sqrt{2 𝑁_{𝑏}} \approx 2.71 + 4.65 \sqrt{𝑁_{𝑏}}

9.2. 总计数率, 本底计数率和净计数率的标准偏差

题给总计数 $𝑁_{𝑇} = 560$ , 测量时间 $𝑡_{𝑇} = 10 min$ ; 本底计数 $𝑁_{𝑏} = 390$ , 本底测量时间 $𝑡_{𝑏} = 15 min$ . 泊松计数的标准偏差为 $\sqrt{𝑁}$ , 计数率标准偏差为 $\frac{\sqrt{𝑁}}{𝑡}$ .

总计数率:

𝑅_{𝑇} = \frac{𝑁_{𝑇}}{𝑡_{𝑇}} = \frac{560}{10} = 56.0 {min}^{- 1} = 0.933 s^{- 1}

𝜎_{𝑅_{𝑇}} = \frac{\sqrt{𝑁_{𝑇}}}{𝑡_{𝑇}} = \frac{\sqrt{560}}{10} \approx 2.37 {min}^{- 1} = 0.0394 s^{- 1}

本底计数率:

𝑅_{𝑏} = \frac{𝑁_{𝑏}}{𝑡_{𝑏}} = \frac{390}{15} = 26.0 {min}^{- 1} = 0.433 s^{- 1}

𝜎_{𝑅_{𝑏}} = \frac{\sqrt{𝑁_{𝑏}}}{𝑡_{𝑏}} = \frac{\sqrt{390}}{15} \approx 1.32 {min}^{- 1} = 0.0219 s^{- 1}

净计数率为:

𝑅_{𝑛} = 𝑅_{𝑇} - 𝑅_{𝑏} = 30.0 {min}^{- 1} = 0.500 s^{- 1}

由于总计数和本底计数相互独立, 净计数率标准偏差按平方和合成:

𝜎_{𝑅_{𝑛}} = \sqrt{𝜎_{𝑅_{𝑇}}^{2} + 𝜎_{𝑅_{𝑏}}^{2}} = \sqrt{{(2.37)}^{2} + {(1.32)}^{2}} \approx 2.71 {min}^{- 1} = 0.0451 s^{- 1}

汇总为:

项目	计数率	标准偏差	标准偏差
总计数率	$56.0 {min}^{- 1}$	$2.37 {min}^{- 1}$	$0.0394 s^{- 1}$
本底计数率	$26.0 {min}^{- 1}$	$1.32 {min}^{- 1}$	$0.0219 s^{- 1}$
净计数率	$30.0 {min}^{- 1}$	$2.71 {min}^{- 1}$	$0.0451 s^{- 1}$

9.3. 擦拭样测量系统的 MDA

空白擦拭样品测量 $10 min$ 得到本底计数 $𝑁_{𝑏} = 400$ . 样品测量时间也为 $10 min$ , 总探测效率为 $𝜀 = 10 % = 0.10$ .

先用上一题的 95% 置信水平探测限公式:

𝐿_{𝐷} = 2.71 + 4.65 \sqrt{𝑁_{𝑏}} = 2.71 + 4.65 \sqrt{400} \approx 95.7

这表示至少需要约 $95.7$ 个净计数才能认为样品活度达到该系统的可探测水平. 测量活时间 $𝑡 = 10 min = 600 s$ , 故:

MDA = \frac{𝐿_{𝐷}}{𝜀 𝑡} = \frac{95.7}{0.10 \times 600} \approx 1.60 Bq

因此该擦拭样测量系统的最小可探测活度约为 $1.6 Bq$ . 若某擦拭样品活度大于此值, 可判断该区域存在可探测的表面污染.