扒谱以及和弦得到了 physicsdolphin 以及 hash 的帮助. 是他们向我介绍了基本的乐理知识与和弦编排.
音源参见[1].
3 月 1 日晚上, 又从他们那里学到了不少的乐理知识. 浓缩精简的版本如下:
人类的听觉范围大致是 20 Hz 到 20 kHz. 钢琴往往有 88 个键, 从左到右, 用 来表示键序, 那么第 个键的频率是
人们规定 的大小是 440 Hz (标准音). 以上有限多个频率 (粒度为 ) 可供作曲家选择. 这覆盖了比较合理的频率范围.
跟朋友问过, 为什么是 12 平均律, 假设 13 个音? 20 个音呢? 我的猜想是这个数字不多也不少, 太多的话不好区分, 太少的话不利于表达. 至少我接触不到音不够细, 写不了曲子的情况.
还有讨论为什么是线性的 (对数意义下), 例如所谓五度相生在八度内就不线性. 我对此没什么看法, 只是刚接触的时候, 觉得十二平均律以 为粒度, 12 个音为八度的记法很形式化, 方便.
回到主题, 真实的钢琴, 按下某个键时, 发出的频率的基频是上述之一, 此外以不同的振幅, 同样会发出基频的整数倍的其他频率 (驻波), 称为泛音 (实际上, 取前 6 个泛音就能模拟真实乐器的音色).
我们可以讨论, 什么样的音乐听起来和谐? 哪几个频率彼此友好? 为此, 可以假设存在一个为大家所接受的函数来衡量友好程度 (人耳听起来和谐):
图 2 Helmholtz 绘制的小提琴的不和谐函数[2]图 2 的横轴代表小提琴发出的两个音 (包含前几个低阶泛音) 的主音频率间隔, 其中一个音恒为 c’, 另一个可变. 纵轴与粗糙度成正比. 他假设每两个频率间都有不和谐值, 并且不同频率混音后的不和谐值是可以相加的. 对图中 g’ 的点, 纵轴代表 c’ 的每一个泛音和 g’ 的每一个泛音两两组合后的结果按照振幅加权相加的值.
基于这样对和谐的音的认识, 人们可以编排和弦, 例如, c’, e’ 的组合和谐, c’, g’ 的组合更和谐. 再例如, c, e, g 这三个音听起来和谐 (想象一个二维的热力图), 这是因为他们的组合靠近不和谐函数的极小值点[3]. 当然, 非常多的人都试图提出自己的对和谐程度的函数模型, 角度涵盖生理学, 心理学等等.
以管弦为基础的西方音乐不同于其他音乐的原因, 也是如此. 编钟的频率密度就是会和一维弦不一样, 泛音不同, 所以听起来和谐的频率组合就不同.
回到对键盘上的音的讨论, 频率相差一倍的两个音, 称为间隔八度. 可以看到, 八度内会出现 12 个音. 可以定义音阶为频率的集合, 要求频率最高和最低间隔八度. 我们常用的 c d e f g a b c’ 就是一个音阶.
接下来考虑调性, 我们注意到 c d e f g a b c 之间相差 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1 个半音 (一个半音就是频率相差 倍), 对于所有的 8 个音组成, 并且具有上述顺序的音阶, 都是大调. 我们立刻看到, 有 12 种不同的大调. 可以用大调内的一个音 (第一个音) 来代表着这个调.